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安徽省滁州市民办高中2018_2019学年高一数学上学期第二次月考试题201901240229

滁州市民办高中 2018-2019 学年上学期第二次月考试卷 高一数学
考生注意: 1. 本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 2. 本卷命题范围:人教 A 版必修 1 前 两章等 。

第 I 卷 选择题 (60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分。)

1.设集合

A

? ?x

|1?

x

?

4?, B

?

??x| ?

1 2

?

2x

?

8

? ? ?

,则

A ? ?CR B ?

=(



A. (1,4)

B. (1,3)

C. (3, 4)

D. ?1,2? ??3,4?

2.已知函数 f ? x? ? { x,? x ? 0? ,若 f ?a? ? f ??1? ? 2 ,则 a ? (



?x,?x ? 0?

A. ?3

B. ?3

C. ?1

D. ?1

3.若关于 x 的不等式 x ? 3 ? x ? 4 ? a 无解,则实数 a 的取值范围是(



A. a ? ?1

B. a ? ?1

C. a ? ?1

4.若函数

f

?

x?

?

{

f

?

2x,?x ? 4? x ? 3?,? x ?

4?

,则 f ?log23? ? (

D. a ? ?1


A. 12

B. 24

C. 36

D. 48

5.定义在 R 上的函数 f ? x? 满足 f ? x ? y? ? f ? x? ? f ? y? ? 2xy ?x, y ?R? , f ?1? ? 2 ,

f ??1? 等于( )

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

? ? 6.已知函数 f ? x? ? loga 2x ? b ? 1 ?a ? 0, a ?1? 的图象如图所示,则 a, b 满足的关系是

()

-1-/9

A. 0 ? a?1 ? b ? 1

B. 0 ? b ? a?1 ? 1

C. 0 ? b?1 ? a ? 1

D. 0 ? b?1 ? a?1 ? 1

7.由于盐碱化严重,某地的耕地面积在最近 50 年内减少了10 0 0 .如果按此规律,设 2012 年

的耕地面积为 m ,则 2017 年后的耕地面积为 (



? ? A. y ? 1? 0.1250 m

1
B. y ? 0.910 m

C. y ? 0.9250 m

?

1?

D. y ? ?1? 0.910 ? m

?

?

8.若 a ?1,

b

?

1且

lg

???1

?

b a

? ??

?

lgb

,则

lg

?

a

?1?

?

lg

?b

?1?

的值(



A. 1

B. lg2

C. 0

D. 不是常数

9.已知

a

?

3
22



b

?

? ??

2 3

?2 ??



c

?

?log2

1 3

,则

a, b,

c

的大小关系是(



A. a ? c ? b

B. b ? c ? a

C. c ? a ? b

D. a ? b ? c

10. 给 出 如 下 三 个 等 式 : ① f ?a ?b? ? f ?a? ? f ?b? ; ② f ?ab? ? f ?a? ? f ?b? ;

③ f ?ab? ? f ?a?? f ?b? .则下列函数中,不满足其中任何一个等式的函数是( )

A. f ? x? ? x2

B. f ? x? ? 3x C. f ? x? ? 2x

D. f ?x? ? lnx

11.下列函数中,在其定义域内,既是奇函数又是减函数的是(



A. y ? ? 1 x

B. y ? x3

C. y ? ln 1? x 1? x

D. y ? log3 2x

12.已知函数 f ? x? ? ax2 ? bx 是定义在?a ?1, 2a? 上的偶函数,那么 a ? b ? ( )

A. 1 3

B. ? 1 3

C. 1 2

D. ? 1 2

第 II 卷 非选择题 (90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。)

-2-/9

13.已知全集

,且

,则实数 a=



14.已知函数 f ? x? 的图象如图所示,则不等式 f ?2x? ? 0 的解集为__________.

15.若函数 f ?2x ?1? ? x2 ? 2x ,则 f ?3? ?__________.
16.给出下列四个命题:
① f ? x? ? x ? 4 ? 3? x 是一个函数;

②函数 y ? 2x? x ? N ? 的图象是一条直线;

③函数 y ? 2x?1 是指数函数;

④对数函数

y

?

loga

x



a

?

0



a

?

1

的图象过定点

?1,

0?

,且过点

?

a,1?

,

? ??

1 a

,

?1???

,函数的

图象不在第三象限. 其中,正确的结论序号是__________(请写出你认为所有正.确.结.论.的序号).

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分。)

? ? 17.(12 分)已知全集U ? R ,集合 A ? ?x| ?1? x ?1 ? , B ? x|2 ? 4x ? 8 .

(1)求 ?CU A? ? B ; (2)若 C ? ?x|a ? 4 ? x ? 2a ? 7 ?,且 A?C ? C ,求实数 a 的取值范围.

? ? 18. (12 分)已知函数 f x ? x?2m2 ?m?3 ( m? Z )为偶函数.

(1)若 f ?3? ? f ?5? ,求 f ? x? ;

(2)在(1)的条件下,求 g ?x? ? f ?x? ? ax 在?2,3?上的最小值 h?a? .

19. (12 分)已知函数 f ? x? ? ln a ? x 是奇函数.
1? x (1)求实数 a 的值;

(2)判断函数 f ? x? 的单调性,并给出证明.

20.

(12 分)已知函数

f

?

x

?

?

a

?

1 3x ?

1

?

a

?

R

?

.

-3-/9

(1)用定义证明函数 f ? x? 在 R 上是增函数; (2)探究是否存在实数 a ,使得函数 f ? x? 为奇函数?若存在,求出 a 的值;若不存在,请
说明理由;
? ? (3)在(2)的条件下,解不等式 f t2 ?1 ? f ?2t ? 4? ? 0 .
21. (12 分)已知函数 f ? x? 的定义域为 ??2, 2? ,若对于任意的 x , y ???2, 2? ,都有 f ?x ? y? ? f ?x? ? f ? y? ,且当 x ? 0 时,有 f ? x? ? 0 . (1)证明: f ? x? 为奇函数; (2)判断 f ? x? 在 ??2, 2? 上的单调性,并证明; (3)设 f ?1? ?1,若 f ? x? ? logam( a ? 0 且 a ?1)对 ?x ???2, 2? 恒成立,求实数
m 的取值范围.
22. (10 分)习总书记在十九大报告中,提出新时代坚持和发展中国特色社会主义的基本方 略,包括“坚持人与自然和谐共生,加快生态文明体制改革,建设美丽中国”. 目前我国一 些高耗能低效产业(煤炭、钢铁、有色金属、炼化等)的产能过剩,将严重影响生态文明建 设,“去产能”将是一项重大任务.十九大后,某行业计划从 2018 年开始,每年的产能比上
一年减少的百分比为 x(0 ? x ? 1) . (1)设 n 年后(2018 年记为第 1 年)年产能为 2017 年的 a 倍,请用 a, n 表示 x ; (2)若 x ?10% ,则至少要到哪一年才能使年产能不超过 2017 的 25%? 参考数据: lg2 ? 0.301, lg3 ? 0.477 .
-4-/9

1.C 2.D 3.A 4.B 5.A 6.A 7.B 8.C 9.A 10.C 11.C 12.A 13.3

高一数学参考答案

14.

?

??,?1?

?

? ??

1 2

,1???

15.- 1

16.④

17.(1)

???1,

3 2

? ??

;(2)

???, 4? .

【解析】(1)因为 A ? ??1,1? , U=R ,所以 CU A ? ???, ?1???1, ??? .

? ? 因为 B ?

x 2 ? 4x ? 8

?

? ??

1 2

,

3 2

? ??



所以

?CU

A?

?

B

?

???1,

3 2

? ??



(2)因为 A?C ? C ,所以 C ? A . 当 C ? ? 时, a ? 4 ? 2a ? 7,所以 a ? 3 ;

2a ? 7 ? a ? 4 当 C ? ? 时, 只需{ a ? 4 ? ?1 ,解得 3 ? a ? 4 ,
2a ? 7 ?1

-5-/9

所以实数 a 的取值范围 ???, 4? .

4?a a?4
18.(1) f ? x? ? x2 (2) h ?a? ? {? a2 4 ? a ? 6
4 9 ? 3a a ? 6

【解析】(1)因为 f ? x? 为偶函数,所以 ?2m2 ? m ? 3 为偶数

? ? ? ? 又 f

3 ?f

5

,所以 3?2m2 ?m?3

?

5?2m2 ?m?1

,即

? ??

3 5

?2m2 ?m?3
? ??

?1

?

? ??

3 5

?0 ??

所以 ?2m2 ? m ? 3 ? 0 ,解得 ?1 ? m ? 3 , 2

又 m?Z ,所以 m ? 0或 m ? 1.

当 m ? 0时, ?2m2 ? m ? 3 ? 3,舍去;

当 m ? 1时, ?2m2 ? m ? 3 ? 2 ,成立,所以 f ? x? ? x2

(2)由(1) g ? x? ? x2 ? ax

当 a ? 4 时, g ? x? 在?2,3?上单调递增, h?a? ? g ?2? ? 4 ? 2a ;

当 4 ? a ? 6 时,

g

?

x

?



???2,a2

? ??

单调递减,

? ??

a 2

,3???

上单调递增,

h?a?

?

g

? ??

a 2

? ??

?

?

a2 4



当 a ? 6 时, g ? x? 在?2,3?上单调递减, h?a? ? g ?3? ? 9 ?3a ;

4?a a?4
综上, h ?a? ? {? a2 4 ? a ? 6
4 9 ? 3a a ? 6

19.(1) a ?1;(2) f ? x? 在 ??1,1? 上单调递减.

【解析】(1)由 f ? x? ? ln a ? x 得: a ? x ? 0

1? x

1? x

?? x ? a??1? x? ? 0, f ? x? 是奇函数,定义域关于原点对称, ?a ?1

此时 x???1,1? , f ? x? ? ln 1? x
1? x

f

??x?

?

ln

1???x? 1? ??x?

?

ln

1? 1?

x x

?

?ln

1? 1?

x x

?

?

f

?

x?

-6-/9

故 a ?1符合题意.
(2) f ? x? 在 ??1,1? 上单调递减

证明:在区间 ??1,1? 任取两点 x1, x2 ,不妨设 x1 ? x2 ,则

f

? x1 ? ?

f

?

x2

?

?

ln

1 1

? ?

x1 x1

? ln 1? x2 1? x2

?

ln

?1 ?1

? ?

x1 x1

? ?

?1 ?1

? ?

x2 x2

? ?

? ln 1? x1x2 1? x1x2

? x1 ? x2 ? x1 ? x2

x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0 ?1? x1x2 ? x1 ? x2 ? 1? x1x2 ? x1 ? x2

又 x1, x2 ???1,1?

? ?1 ?

x1

? ?1 ?

x2

?

?

0?1? 1?

x1x2 x1x2

? ?

x1 x1

? ?

x2 x2

? 1?ln 1? x1x2 ? x1 ? x2 1? x1x2 ? x1 ? x2

?0

即 f ?x1? ? f ?x2 ? ,所以 f ? x? 在 ??1,1? 上单调递减.

20.(1)见解析;(2)见解析;(3){t | ?3 ? t ? 1} .

【解析】(1)任取







在 R 上是增函数,且 ,即









函数 在 上是增函数.

(2)

是奇函数,则





,故

.



时,

是奇函数.

(3)在(2)的条件下,

是奇函数,则由





在 上是增函数,则得



.

-7-/9

可得:

故原不等式的解集为:

.

21.(1)证明见解析;(2)

f ? x? 在 ??2, 2? 上为单调递增函数;(3) 0 ? m ? a2

【解析】(1) 令 x ? y ? 0 ,

所以 f ?0? ? 0,
令 y ? ?x ,
所以 f ?x? ? f ??x? ? f ?0? ? 0 ,

所以 f ??x? ? ? f ?x? ,故 f ? x? 为奇函数

(2) f ? x? 在 ??2, 2? 上为单调递增函数.

任取 ?2 ? x1 ? x2 ? 2 , 所以 x2 ? x1 ? 0 ,
所以 f ? x2 ? x1 ? ? 0 , 因为 f ? x? 是定义在 ??2, 2? 上的奇函数,

所以 f ?x2 ? ? f ?x1? ? f ?x2 ? ? f ??x1? ? f ?x2 ? x1? ? 0, 所以 f ?x2 ? ? f ?x1? , 所以 f ? x? 在 ??2, 2? 上为单调递增函数 (3) 因为 f ? x? 在 ??2, 2? 上为单调递增函数,

所以 f ?x? ? f ?2? ? f ?1?1? ? f ?1? ? f ?1? ? 2, max
因为 f ? x? ? logam 对 ?x ???2, 2? 恒成立,
所以 logam ? 2 , 当 a ?1 时, 所以 m ? a2 ; 当 0 ? a ?1 时, 所以 0 ? m ? a2 .

-8-/9

22.(1) x ? 1? n a ;(2)2031 年.
【解析】(1)依题意得: ?1? x?n ? a .

1? x ? n a .

x ?1? n a .

(2)设 n 年后年产能不超过 2017 年的 25%,则 ?1?10%?n ? 25%

?9 ?? 10

?n ??

?

1 4

nlg 9 ? lg 1 10 4

n?2lg3?1? ? ?2lg2 .

n ? 2lg2 1? 2lg3
n ? 301 23
∵13 ? 301 ? 14 ,且 n ? N* 23
∴ n 的最小值为 14.
答:至少要到 2031 年才能使年产能不超过 2017 年的 25%.

-9-/9




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